XLIX+OLIMPIADA

Esta será una página para los que estéis interesados en participar. La Olimpiada tendrá su fase inicial el 13 de Enero de 2017. En esta página se puede consultar toda la informaciónl Enunciados Soluciones

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En general, los problemas que se proponen no son fáciles, pero todos son interesantes. De manera regular se propondrán algunos problemas para que se intenten resolver; algún día después se dará alguna pista, y finalmente las soluciones con nuevos problemas. Aquí van los dos primeros:

(2011 es un número primo) Si unimos O con las cuatro puntos medios de los lados X, Y, Z y T se forman cuatro cuadriláteros, OXBY, OYCZ, OZDT y OTAX. Probar que los cuatro cuadriláteros tienen la misma área .
 * Problema 1**.- Encontrar todos los triángulos de altura 2011, y tales que las longitudes de sus lados sean números enteros.
 * Solución:[[file:solucion problema 1.pdf]]**
 * Problema 2.-** ABCD es un cuadrilátero cualquiera, P y Q los puntos medios de las diagonales BD y AC respectivamente. Las paralelas por P y Q a la otro diagonal se cortan en O.

PROBLEMAS EN LOS QUE ES APLICABLE EL PRINCIPIO DEL PALOMAR
Si un palomar tiene 3 nidos y en él duermen 4 palomas, entonces al menos dos palomas duermen en el mismo nido. Esta idea tan simple se conoce con el nombre de **principio del palomar**, o como **principio de Dirichlet**: S**//i m objetos se distribuyen en n cajas y m > n, entonces hay al menos dos objetos que se encuentran en la misma caja.//**

Este problema es un ejemplo :
 * En una conferencia hay 201 delegados de 5 países distintos. Las edades de los delegados son mayores que 30 y menores que 35. Probar que podemos**
 * encontrar 6 delegados con la misma edad, sexo y nacionalidad.**

Para resolverlo observamos que habrá un país con 41 o más delegados.Al por edades,como solo hay 4 posibilidades, habrá al menos 11 con la misma edad, que al ordenarlos por sexo, habrá al menos 6 del mismo sexo.

Demostrar que siempre habrá 9 entre ellos que podrían cubrirse con un semicírculo radio 3/10. (Ayuda: Se puede dividir el triángulo en tres triángulos) Solución (Ayuda: Dividir el círculo en 9 zonas de forma adecuada) Solución
 * Problema 3.-** En el triángulo rectángulo de hipotenusa unidad, y ángulos 90º, 60º,30º, se colocan 25 puntos.
 * Problema 4.**-Dados diez puntos en un círculo de diámetro 5, probar que hay dos de ellos que se encuentran a una distancia menor que 2.

PROBLEMAS CON POLINOMIOS
Dos polinomios iguales deben tener el mismo grado y los mismos coeficientes.
 * Identidad de polinomios**:

**TEOREMA** **DEL** **RESTO** El resto de la división de P(x) entre x−a es igual a P(a).
 * Corolario**: a es raíz del polinomio P si y solo si P es divisible por x − a.

 Para un polinomio de grado 3 Relaciones análogas se pueden expresar para un polinomio de grado n 1) (x − a) divide a x n − a n 2) ) Si n es impar (x+a) divide a x n + a n
 * RELACIONES DE CARDANO-VIETA**
 * RELACIONES DE DIVISIBILIDAD**

**Potencia****s** 



**Problema 5.-** Sean x, y, z números reales tales que x + y + z = 2, xy + yz + xz = −1, xyz = −2 Hallar el valor de las siguientes expresiones: a) x 2  + y 2  + z 2 b)x 3 + y 3 + z 3 c)x 4 + y 4 + z 4  (Ayuda: Aplicando las fórmulas de Cardano-Vieta x,y,z son las raíces del polinomio x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">-2x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">-x+2 ) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">**Problema 6.-** Calcular a, b ∈ R para que ax <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">4 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;"> + bx <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;"> + 1 sea divisible por x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;"> + 2x + 1. (Ayuda: Como <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">+ 2x + 1= (x+1) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">ax <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">4 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;"> + bx <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;"> + 1 será dos veces divisible por x+1)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">**Problema 7.-** Hallar a, b ∈ R para que p(x) = x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">5 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;"> + ax <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;"> + b tenga una raíz real múltiple. (Ayuda: Si p(x) tiene una raíz múltiple, entonces también lo es de su derivada p'(x). Distinguir el caso obvio b=0) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">**Problema 8.-**Sabemos que una de las raíces del polinomio de coeficientes reales p(x) = x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;"> + ax <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;"> + bx + c es la suma de las otras dos. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">Demostrar que a <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">3 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;"> − 4ab + 8c = 0. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">(Ayuda: Aplicar las fórmulas de Cardano-Vieta)

entonces no puede tomar el valor 14 para ningún valor entero de x.
 * <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">Problema 9.- ** Demostrar que si un polinomio de cualquier grado con coeficientes enteros toma el valor 7 para cuatro valores enteros y distintos de x,

(1+2x-2x 3 ) 2013 ​+ (1-3x+3x 5 ) 2012 (Ayuda: Hallar P(1)) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">**Problema 11.-** Sea P(x) el polinomio que resulta de efectuar el producto (1+x+x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">+...+x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">2013 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">)(1-x+x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">2 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">...+x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">2012 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">-x <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">2013 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">Probar que P(x) no tiene términos de grado impar. (Ayuda: Ver que P(x)=P(-x))
 * <span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 110%;">Problema 10 **<span style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: 120%;">**.**- Encontrar la suma de los coeficientes del polinomio que resulta de efectuar:

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">**Problema 12.-**Probar que no existe ningún polinomio con coeficientes enteros P(x), y tres enteros distintos a,b,c tales que P(a)=b, P(b)=c y P(c)=a (Ayuda: b-a divide a P(b)-P(a))


 * PROBLEMAS ARITMÉTICOS**
 * A tener en cuenta:**

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">**Problema 13.-** Hallar el resto de la división de 2013 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">2010 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;"> entre 2011

(Ayuda: Utilizar el Teorema de Fermat)

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">**Problema 14.-** Un hombre cobra un cheque por d Euros y c céntimos en un banco. El cajero, por error, le da c Euros y d céntimos. El hombre no se da cuenta hasta que gasta 23 céntimos y ademas observa que en ese momento tiene 2d Euros y 2c céntimos. ¿Cuál era el valor del cheque? ( Ayuda c<100) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">**Problema 15.-**Sea M la suma de las cifras del número A=2013 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%; vertical-align: super;">2013 <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">, N la suma de las cifras de M y P la suma de las cifras de N. Hallar P. <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">(Ayuda: Partir de una estimación del número de cifras, y de una cota de su suma, y aplicar restos módulo 9) <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">Solución muy bruta

<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">FASE LOCAL XLIX OLIMPIADA <span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: 110%;">FASE LOCAL L OLIMPIADA